Persamaan Diferensial Orde 2

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Pengantar

Persamaan differensial orde 2 adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk : F(x, y, y’, y”) = 0 atau y” = f(x, y, y’). Untuk persamaan orde 1, y’ = f(x, y), solusinya mempunyai satu buah konstanta. Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka untuk menentukkan solusinya, diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah konstanta.

Secara umum, solusi persamaan differensial orde n akan mempunyai n buah konstanta, karena untuk persamaan differensial orde n, diperlukan n kali proses integrasi. Untuk menentukan solusi tunggal dari persamaan differensial orde 2 diperlukan dua keadaan khusus, misalnya ditentukkan nilai y₀ dan y’₀ pada x₀. Kondisi ini dinamakan kondisi awal atau syarat awal. [1]

B.     Rumusan Masalah

1.      Bagaimana bentuk persamaan umum PD linier orde 2?

2.      Bagaimana bentuk persamaan umum PD linier orde 2 homogen  ?

3.      Bagaimana bentuk penyelesaian PD linier orde 2 homogen dengan operator D dan permisalan akar persamaan karakteristik?

C.    Tujuan

Makalah ini dibuat dengan tujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Differensial.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Bentuk Persamaan Umum PD linier orde 2

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde 2 adalah :

y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x)

dimana p(x) dan g(x) disebut konstanta.

Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 1, maka persamaan differensial tersebut adalah persamaan differensial linier.

B.     Bentuk Persamaan Umum PD linier orde 2 homogen

Perhatikan kembali persamaan berikut ini :

y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x)

Jika r(x) bernilai nol [r(x) = 0], maka persamaan tersebut dinamakan persamaan differensial homogen, karena tiap sukunya mengandung variable y atau turunannya. Tetapi jika r(x) tidak sama dengan nol, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan differensial tak homogen, karena ada suku yang tidak bergantung y atau turunannya. [2]

Contoh :     + 3x  - 2y = 0

Jika r(x) tidak sama dengan nol maka disebut PD linier tak-homogen orde dua.

Contoh : y” + 4y = e^-x sinx

Persamaan differensial linier homogen orde kedua selalu mempunyai dua solusi dasar  u₁(x) dan u₂(x), yang berdiri sendiri atau tidak bergantung satu sama lain.[3]

Solusi Persamaan differensial homogen dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari dua solusi y₁ dan y₂:

y = c₁y₁+c₂y₂

Bukti bahwa bentuk kombinasi linier dari y₁ dan y₂ dalah benar solusi dari persamaan differensial homogen dapat diperoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan y = c₁y₁+c₂y₂ ke dalam persamaan  y” + p(x)y’ + g(x)y = 0 :

Ø  y” + p(x)y’ + g(x)y = 0

Ø  (c₁y₁+c₂y₂)” + p(x)(c₁y₂+c₂y₂)’ + g(x)(c₁y₁+c₂y₂) =0

Ø  c₁y₁”+ c₂y₂”+ p(x) c₁y₁’+ p(x) c₂y₂’+ g(x) c₁y₁+ g(x) c₂y₂ =0

Ø  c₁(y₁”+ p(x) y₁’+ g(x) y₁) + c₂(y₂”+ p(x)y₂’+ g(x)y₂) = 0

Ø  c₁(0) + c₂(0) = 0

Ø  0 = 0

Solusi Persamaan differensial orde kedua dapat dinyatakan dalam dua bentuk  yaitu  solusi umum (jika koefisien c₁ dan c₂ berupa sembarang konstanta) dan solusi khusus (jika koefisien c₁ dan c₂ berupa angka spesifik).[4]

C.    Bentuk Penyelesaian PD Linier Orde 2 Homogen dengan Operator D dan Permisalan Akar Persamaan Karakteristik

1.      Operator D

Operator D adalah operator differensial. Jika   dapat ditulis sebagai D maka   = Dy dan = D²y.

Persamaan umum dari operator differensial orde dua adalah ;

L = P(D) = AD²+BD+C

Dimana L  menyatakan “linier”, P menyatakan “polinom” dan A, B, C adalah sebarang konstanta.

Apabila L diterapkan pada fungsi y, maka diperoleh :

L[y] = P(D)y = (AD²+BD+C)y

            = (AD²y+BDy+Cy)

      = (Ay”+By’+Cy)

Kita ketahui bahwa (Ay”+By’+Cy) merupakan bentuk dari persamaan differensial orde dua. Selanjutnya, kita akan membahas bentuk dari persamaan differensial homogen orde dua. Persamaan umum differensial homogen orde dua adalah Ay”+By’+Cy = 0. Dengan menerapkan operator D, maka diperoleh persamaan differensial homogen orde dua :[5]

L[y] = P(D)y = (AD²+BD+C)y = Ay”+By’+Cy = 0

2.      Permisalan Akar Persamaan Karakteristik

Pandang persamaan yang berbentuk :

ay” + by’ + cy = 0

dengan a_, b_,c adalah konstanta sembarang. Jika andaikan m adalah akar persamaan karakteristiknya yaitu :

am² + bm + c = 0

maka akar-akar karakteristiknya dapat diselesaikan dengan rumus abc pada persamaan kuadrat yaitu :

m_1,2 =

Karena a, b, c adalah bilangan real sehingga akar-akar karakteristiknya mempunyai tiga kasus yakni :

1)      Dua akar real yang berbeda

Diskriminan (D) = b²-4ac > 0

Sehingga akar-akar kuadratnya adalah bilangan real. Jadi penyelesaian umum PD nya adalah :

y = c₁e^m₁^x + c₂e^m₂^x

dengan c₁ dan c₂ adalah konstanta yang sesuai.

2)      Dua akar yang sama

Diskriminan (D) = b²-4ac = 0

Sehingga akar-akar kuadratnya adalah m₁ = m₂ = m

Jadi, penyelesaian umum PD nya adalah :

y = c₁e^m₁^x + c₂xe^m₁x

3)      Dua akar komplek konjugat

Diskriminan (D) = b²-4ac < 0

Jika persamaan karakteristik mempunyai akar-akar gabungan kompleks i, maka solusi umumnya adalah :

y = c₁ cos  + c₂ sin

Contoh Soal :

1.      Carilah penyelesaian umum PD y” + y’ - 6y = 0

Penyelesaian :[6]

Persamaan karakteristiknya :

m²+m-6 = 0

(m+3) (m-2) = 0

Mempunyai akar-akar persamaan m₁ = -3 dan m₂ = 2. Karena e^-3 dan e² adalah solusi yang berdiri sendiri, maka solusi umum untuk persamaan differensial tersebut adalah  y = c₁e^-3x+c₂e^2x.

2.      Tentukan solusi umum untuk  y”+7y’+12y = 0

Penyelesaian : Persamaan karakteristik

m²+7m+12 = (m+3)(m+4) = 0

mempunyai dua akar -3 dan -4. Karena e^-3 dan e^-4 adalah solusi yang berdiri sendiri, maka solusi umum untuk persamaan differensial tersebut adalah  y = c₁e^-3x+c₂e^-4x

3.      Selesaikan y”-6y’+9y = 0

Penyelesaian : Persamaan karakteristiknya

m²-6m+9 = (m-3)(m-3) = 0

mempunyai dua akar yang sama yaitu m₁ = m₂ = m = 3.

Jadi solusi umumnya adalah y = c₁e^3x+c₂xe^3x.

4.      Selesaikan y”-4y’+13y = 0

Penyelesaian : akar-akar dari persamaan karakteristik m²-4m+13 = 0 adalah 23i. Dengan demikian, solusi umumnya adalah y = c₁ cos  + c₂ sin

D.    Contoh Soal dan Pembahasan PD Linier Orde Dua Homogen

Contoh soal:

1.      y’’ + 2y’=0

2.      y’’ – 3y’ + 2y = 0

3.      y’’ + 6y’ – 7y = 0 ; y(0) = 0, y’(0) = 4

4.      y” – 3y’ – 10y = 0 ; y(0) =1, y’(0) = 10

Penyelesaian:

1.      Y’’ + 2y’ = 0

Penyelesaian: persamaan karakteristik dari persamaan diferensial di atas adalah:

r² + 2r = 0

r₁=0 dan r₂ = -2

sehingga solusi umumnya adalah:

y = C₁e^0x + C₂e^-2x

y = C₁ + C₂e^-2x

2.      y’’ – 3y’ + 2y = 0

penyelesaian:

r² – 3r +2 = 0

(r – 1)(r – 2) = 0

r₁= 1 dan r₂ = 2

sehingga solusi umumnya adalah:

y = C₁e^x + C₂e^2x

3.      y’’ + 6y’ – 7y = 0 ; y(0) =0, y(0)= 4

penyelesaian:

r² + 6r – 7 = 0

(r - 1)(r + 7) = 0

r₁ = 1 dan r₂ = -7

sehingga solusi umumnya adalah

y = C₁e^x + C₂e^-7x

dengan menggunakan syarat awal kita peroleh:

y(0) =0, maka: substitusikan ke solusi umum

y = C₁e^x + C₂e^-7x

y(0) = C₁e⁰ + C₂e⁰ = 0

C₁ +C₂  = 1...................................................................... persamaan (1)

Dan y(0) = 10

y = C₁e^x + C₂e^-7x

y’= C₁e^x – 7C₂e^-7x

y’(0)=C₁e⁰ -7 C₂e⁰ = 4

C₁ - 7C₂ = 10.................................................................. persamaan (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2

C₁ + C₂ = 0

C₁ - 7C₂ = 4

8C₂ = -4

C₂ = -1/2

Susbtitusikan nilai C₂ ke persamaan 1, sehingga:

C₁ + C₂ = 0

C₁ – 1/2 = 0

C₁ = 1/2

C₁ = 1/2

sehingga kita peroleh C₁ = 1/2 dan C₂ = -1/2, solusi umumnya menjadi

y= e^x  -  e^-7x

         2          

4.      y’’ – 3y’ – 10y = 0 ; y(0) = 1, y’(0)= 10

penyelesaian:

r² – 3r – 10 = 0

(r + 2)(r – 5) = 0

r₁ = -2 dan r₂ = 5

sehingga soulusi umumnya adalah:

y = C₁e^-2x + C₂e^5x

dimana y(0) = 1 dan y’(0) = 10, maka:

y = C₁e^-2x + C₂e^5x

y(0)= C₁e⁰ + C₂e⁰ = 1

C₁ + C₂ = 1..................................................................... 1

y = C₁e^-2x + C₂e^5x

y’= -2C₁e^-2x + 5C₂e^5x

y’ (0)= -2C₁e⁰ + 5C₂e⁰

 -2C₁ + 5C₂ = 10............................................................. 2

Eliminasi persamaan 1 dan 2, maka kita peroleh:

C₁ + C₂  = 1           2                      2C₁ + 2C₂ = 2

-2C₁ +5 C₂ = 10  1                          -2C₁ + 5C₂ = 10

+

                                                                  7C₂ = 12

                                                                  C₂ =12/7

Substitusikan nilai C₂ ke persamaan 1, maka kita peroleh:

C₁ + C₂ = 1

C₁ + 12/7 = 1

C₁ = -5/7

Sehingga nilai C₁ = 12/7 dan nilai C₂ = -5/7, solusi umumnya menjadi:

y = -5e^-2x + 12e^5x

               7

5.      tentukan jawaban umum dari:

Jawab:

(D² + 5D + 6) y = 0

(D + 3)(D + 2)y = 0

Jadi y = C₁e^-3x + C₂e^-2x  atau y = Ae^-2x + Be^-3x

6.               (D² + 4D + 4)y = 0

(D + 2)²y = 0

Maka y = Ce^-2x, bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua

Jadi misalkan  jawaban umumnya y = u(x)e^-2x

Substitusikan ke (D + 2)²y = 0 didapat (D + 2)²u(x)e^-2x = 0

Dengan menggunakan sifat:

ɸ (D)uemx = emxɸ (D + m) u

Didapat : e^-2x [D – 2 + 2]²u(x) = 0        e^-2xD²u = 0

                                                              D²u = 0

                                                              Du = A

                                                                U = Ax + B

Jadi, y = (Ax + B)e^-2x atau y = (C₁x+ C₂)e^-2x merupakan jawaban umumnya.[7]        

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde 2 adalah :

y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x)

dimana p(x) dan g(x) disebut konstanta. Jika r(x) = 0 maka persamaan tersebut dinamakan persamaan differensial homogen.

Ketika kita menemukan suatu persamaan operator D homogen orde duamaka kita dapat mencari penyelesaian umum dari persamaan operator homogeny orde dua dengan mengubahnya kedalam bentuk :

L[y] = P(D)y = (AD²+BD+C)y = Ay”+By’+Cy = 0

Artinya, mengubah bentuk operator D ke dalam bentuk persamaan homogeny orde dua. Selanjutnya kita dapat mencari penyelesaian umum dari suatu persamaan operator differensial dengan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum dari persamaan homogen orde dua.

---

[1]Heris Herdiana, Sukasno, & Engkus Kusma. 2002. Persamaan Differensial. Bandung: CV PUSTAKA SETIA. Halaman 63

[2]Heris Herdiana, Sukasno, & Engkus Kusma. 2002. Persamaan Differensial. Bandung: CV PUSTAKA SETIA. Halaman 74

[3]Edwin J. Purcell, Dale Varbeg, Steven E. Rigdon. 2004. KALKULUS Jilid Dua Edisi kesembilan. Jakarta: Erlangga. Halaman 396-37

[4]Jurnal oleh Dwi Prananto. 2015. Persamaan Differensial Biasa: Persamaan Differensial Orde kedua. Halaman 1

[5]Esa148.weblog.esaunggul.ac.id. diakses pada hari Minggu, 29 Oktober 2017

[6]I Ketut Sukarma dan Syahrir. 2014. Modul Persamaan Differensial. Mataram: LPP Mandala. Halaman 58

[7] Darmawijoyo.2011.Persamaan Diferensial Biasa:Suatu Pengantar. Jakarta:Erlangga.hlm.69.